Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số $y=\frac{f\left(x\right).\sqrt{x^2+x}}{\left[f\left(x\right)-2\right]\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(2x+1\right)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Đáp án B

Trước tiên ta rút gọn phần thức $\frac{f\left(x\right).\sqrt{x^2+x}}{\left[f\left(x\right)-2\right]\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(2x+1\right)},$  khi phân thức này đã tối giản thì về cơ bản, ứng với mỗi một nghiệm của mẫu ta sẽ được một đường tiệm cận đứng, tuy nhiên phải lưu ý các trường hợp đặc biệt.

+) Ta thấy đồ thị $y=f\left(x\right)$  tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1,2 nên phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm kép $x=0$ và hai nghiệm đơn $x=\mathrm{1,}x=2$

 $\Rightarrow f\left(x\right)={\left(x-0\right)}^2\left(x-1\right)\left(x-2\right)g\left(x\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x-2\right)g\left(x\right)$ với $g\left(x\right)$ vô nghiệm.

+) Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số  $y=f\left(x\right)$ tại hai điểm có hoành độ $x=a,x=b\left(-1<a<\mathrm{0,2}<b<3\right),$ nên phương trình $f\left(x\right)=2$ có hai nghiệm đơn  $x=a,x=b\left(-1<a<\mathrm{0,2}<b<3\right)$

 $\Rightarrow f\left(x\right)-2=\left(x-a\right)\left(x-b\right)h\left(x\right)$ với  $h\left(x\right)$ vô nghiệm.

Vậy ta có $y=\frac{f\left(x\right).\sqrt{x^2+x}}{\left[f\left(x\right)-2\right]\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(2x+1\right)}=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}.\frac{x^2\left(x-1\right)\left(x-2\right).\sqrt{x^2+x}}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(2x+1\right)}$

$=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}.\frac{x^2.\sqrt{x^2+x}}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(2x+1\right)}$

Ta thấy với $x=a\left(-1<a<0\right)$ và $x=-\frac{1}{2}$ thì $x^2+x<0$ nên $\sqrt{x^2+x}$  không tồn tại.

Do đó đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là $x=b,x=-\mathrm{1,}x=-2.$